Es kommt doch gar nicht so sehr darauf an, ob du das Ziel erreichst. Es kommt auf zwei Dinge an:
1. Du nimmst das Heft des Handelns in die Hand.
2. Sie trägt die Konsequenzen ihres Tuns.
Ob du es letztendlich schaffst, sie gegen ihren Willen aus der gemeinsamen Wohnung zu bekommen, ist eigentlich nebensächlich, aber du zeigst ihr auf, dass du aktiv bist, dass du bestimmst, was passiert. Und nicht, dass sie sich beliebig auf Kosten deiner Nerven testet.
Außerdem ist die logische Konsequenz einer Trennung, dass man sich räumlich trennt. Sie hat die (zumindest temporäre) Trennung ausgesprochen, also hat sie sich auch räumlich zu trennen. So einfach.
Das grundlegende Problem ist, dass du aber aufgrund ein paar Tränen oder eines Tantrums einknickst. Nein, solltest du nicht tun und wenn sie den Nachteil hat, dass sie ihre Kinder seltener sieht oder sie weiter fahren muss, dann ist das nichts anderes als die logische Konsequenz. Das Leben wird halt mühsamer für sie.
Wie du sie rausbekommst, hättest du mit einem Fachanwalt klären können (wenn du gewollt hättest). Ein einfacher Weg wäre gewesen, den Mietvertrag zu kündigen und mal zu sehen, ob sie dagegen anwaltlich vorgeht. Oder das Haus auf dich umschreiben zu lassen und ihr zu kündigen. Oder einfach ihre Koffer zu packen und mit einem Zettel versehen, vor die Haustür zu stellen. Ob das ganz dann wirklich so fliegt, ist doch eigentlich egal.... denn sie realisiert, dass sie nicht einfach mehr machen kann was sie möchte (so wie im Augenblick) und du nicht der sichere Rückhalt bist, wenn der Neue dann doch keine Lust haben sollte.
Du hast dich entschieden passiv zu bleiben, das ist auch dein gutes Recht. Richtig ist es nicht, wenn du um deine Ehe kämpfen willst. Deine Entscheidung!