Ich bin im sgb III Bereich der BA unterwegs...
bei Arbeitslosengeld I ist es tatsächlich fast immer so, dass man dann eine Sperrzeit bekommt, es sei denn man kündigt aus wichtigem Grund. z.B. psychisch nicht mehr machbar, blöde Arbeitsatomsphäre, Krankheit, ... wenn man es geschickt anstellt kann man sich da schon was zurechtlegen auch wenn es nicht stimmt.
Bei ALG II gilt grundsätzlich das gleiche, ich habe aber auch schon Sachbearbeiter kennen gelernt, die dann trotzdem bewilligt haben, gerade bei Familien mit Kindern. Also quasi beide Augen zugedrückt.
Man kann sich beim Jobcenter für die 3 Monate aber auch einen Zinsfreien Kredit geben lassen, den man zurückzahlt, wenn man wieder arbeitet.
Kann dein Mann den Chef nicht bitten ihm eine Kündigung zu schreiben? Manche Chefs gehen darauf ein, wenn man es vernünftig begründet und nett/normal mit ihnen redet.
Du kannst mir ja mal schreiben warum sofort gekündigt werden muss, ... ich kann dir bestimmt sagen ob das durchgeht oder nicht :)