Wem gehört der Zaun denn? Euch oder dem Nachbarn? Besteht eine Einfriedungspflicht, eine Rechtseinfriedung, wie ist das bei euch in der Gemeinde/der Siedlung geregelt?
Ist es euer Zaun, dann würde ich ihn reparieren und mir eine erneute Beschädigung, auch unter Androhung rechtlicher Schritte, verbitten. Und dann tatsächlich auch Anzeige erstatten, wenn der Zaun erneut beschädigt wird.
Allerdings klingt es eher so, als wäre es der Zaun eures Nachbarn.
Und da werdet ihr dann nicht wirklich viel tun können; außer es gilt bei euch eine Einfriedungspflicht. Außer daneben einen weiteren Zaun auf eurem Grundstück zu ziehen, der die Hunde am Entlaufen hindert.
Der Nachbar (bzw, der nachbarliche Zaun) ist nämlich nicht dazu gedacht, dass eure Hunde nicht vom Grundstück laufen. Für die Sicherung der Hunde seid ausschließlich ihr verantwortlich, nicht euer Nachbar.